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时间:2018-09-19 12:00:58本文内容及图片来源于读者投稿,如有侵权请联系[email protected] 曾扬 我要投稿

高中数学基础知识点归纳

  第一部分 集合

  (1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2;

  (2) 注意:讨论的时候不要遗忘了 的情况。

  (3)

  第二部分 函数与导数

  1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。

  2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;

  ⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( 、 、 等);⑨导数法

  3.复合函数的有关问题

  (1)复合函数定义域求法:

  ① 若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。

  (2)复合函数单调性的判定:

  ①首先将原函数 分解为基本函数:内函数 与外函数 ;

  ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;

  ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

  注意:外函数 的定义域是内函数 的值域。

  4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。

  5.函数的奇偶性

  ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;

  ⑵ 是奇函数 ;

  ⑶ 是偶函数 ;

  ⑷奇函数 在原点有定义,则 ;

  ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;

  (6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;

  6.函数的单调性

  ⑴单调性的定义:

  ① 在区间 上是增函数 当 时有 ;

  ② 在区间 上是减函数 当 时有 ;

  ⑵单调性的判定

  1 定义法:

  注意:一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;

  ②导数法(见导数部分);

  ③复合函数法(见2 (2));

  ④图像法。

  注:证明单调性主要用定义法和导数法。

  7.函数的周期性

  (1)周期性的定义:

  对定义域内的任意 ,若有 (其中 为非零常数),则称函数 为周期函数, 为它的一个周期。

  所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。

  (2)三角函数的周期

  ① ;② ;③ ;

  ④ ;⑤ ;

  ⑶函数周期的判定

  ①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论)

  ⑷与周期有关的结论

  ① 或 的周期为 ;

  ② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ;

  ③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ;

  ④ 的图象关于点 中心对称,直线 轴对称 周期为4 ;

  8.基本初等函数的图像与性质

  ⑴幂函数: ( ;⑵指数函数: ;

  ⑶对数函数: ;⑷正弦函数: ;

  ⑸余弦函数: ;(6)正切函数: ;⑺一元二次函数: ;

  ⑻其它常用函数:

  1 正比例函数: ;②反比例函数: ;特别的

  2 函数 ;

  9.二次函数:

  ⑴解析式:

  ①一般式: ;②顶点式: , 为顶点;

  ③零点式: 。

  ⑵二次函数问题解决需考虑的因素:

  ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。

  ⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。

  10.函数图象:

  ⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法

  ⑵图象变换:

  1 平移变换:ⅰ ,2 ———“正左负右”

  ⅱ ———“正上负下”;

  3 伸缩变换:

  ⅰ , ( ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 倍;

  ⅱ , ( ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 倍;

  4 对称变换:ⅰ ;ⅱ ;

  ⅲ ; ⅳ ;

  5 翻转变换:

  ⅰ ———右不动,右向左翻( 在 左侧图象去掉);

  ⅱ ———上不动,下向上翻(| |在 下面无图象);

  11.函数图象(曲线)对称性的证明

  (1)证明函数 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

  (2)证明函数 与 图象的对称性,即证明 图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在 的图象上,反之亦然;

  注:

  ①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;

  ②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:f(2a-x, y)=0;

  ③曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

  ④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x= 对称;

  特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x=a对称;

  ⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;

  12.函数零点的求法:

  ⑴直接法(求 的根);⑵图象法;⑶二分法.

  13.导数

  ⑴导数定义:f(x)在点x0处的导数记作 ;

  ⑵常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ;

  ④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;

  ⑧ 。

  ⑶导数的四则运算法则:

  ⑷(理科)复合函数的导数:

  ⑸导数的应用:

  ①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?

  ②利用导数判断函数单调性:

  ⅰ 是增函数;ⅱ 为减函数;

  ⅲ 为常数;

  ③利用导数求极值:ⅰ求导数 ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得极值。

  ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。

  14.(理科)定积分

  ⑴定积分的定义:

  ⑵定积分的性质:① ( 常数);

  ② ;

  ③ (其中 。

  ⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):

  ⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积: ;

  3 求变速直线运动的路程: ;③求变力做功: 。

  第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

  1.⑴角度制与弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度

  ⑵弧长公式: ;扇形面积公式: 。

  2.三角函数定义:角 中边上任意一点 为 ,设 则:

  3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;

  4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”;

  5.⑴ 对称轴: ;对称中心: ;

  ⑵ 对称轴: ;对称中心: ;

  6.同角三角函数的基本关系: ;

  7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①

  ② ③ 。

  8.二倍角公式:① ;

  ② ;③ 。

  9.正、余弦定理:

  ⑴正弦定理: ( 是 外接圆直径 )

  注:① ;② ;③ 。

  ⑵余弦定理: 等三个;注: 等三个。

  10。几个公式:

  ⑴三角形面积公式: ;

  ⑵内切圆半径r= ;外接圆直径2R=

  11.已知 时三角形解的个数的判定:

  第四部分 立体几何

  1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为 。

  2.表(侧)面积与体积公式:

  ⑴柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②侧面积:S侧= ;③体积:V=S底h

  ⑵锥体:①表面积:S=S侧+S底;②侧面积:S侧= ;③体积:V= S底h:

  ⑶台体:①表面积:S=S侧+S上底S下底;②侧面积:S侧= ;③体积:V= (S+ )h;

  ⑷球体:①表面积:S= ;②体积:V= 。

  3.位置关系的证明(主要方法):

  ⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。

  ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 线面平行。

  ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。

  ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。

  ⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。

  注:理科还可用向量法。

  4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)

  ⑴异面直线所成角的求法:

  1 平移法:平移直线,2 构造三角形;

  3 ②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,4 发现两条异面直线间的关系。

  注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。

  ⑵直线与平面所成的角:

  ①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin 。

  注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

  ⑶二面角的求法:

  ①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解;

  ②三垂线法:由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解;

  ③射影法:利用面积射影公式: ,其中 为平面角的大小;

  注:对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法;

  理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角。

  5.求距离:(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离)

  ⑴两异面直线间的距离:一般先作出公垂线段,再进行计算;

  ⑵点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;

  ⑶点到平面的距离:

  ①垂面法:借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键),再求解;

  5 等体积法;

  理科还可用向量法: 。

  ⑷球面距离:(步骤)

  (Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。

  6.结论:

  ⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;

  ⑵立平斜公式(最小角定理公式):

  ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ,则S侧cos =S底;

  ⑷长方体的性质

  ①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则:cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。

  ②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。

  ⑸正四面体的性质:设棱长为 ,则正四面体的:

  1 高: ;②对棱间距离: ;③相邻两面所成角余弦值: ;④内切2 球半径: ;外接球半径: ;

  第五部分 直线与圆

  1.直线方程

  ⑴点斜式: ;⑵斜截式: ;⑶截距式: ;

  ⑷两点式: ;⑸一般式: ,(A,B不全为0)。

  (直线的方向向量:( ,法向量(

  2.求解线性规划问题的步骤是:

  (1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。

  3.两条直线的位置关系:

  4.直线系

  5.几个公式

  ⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC的重心G:( );

  ⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离: ;

  ⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ;

  6.圆的方程:

  ⑴标准方程:① ;② 。

  ⑵一般方程: (

  注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;

  7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。

  8.圆系:

  ⑴ ;

  注:当 时表示两圆交线。

  ⑵ 。

  9.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)

  ⑴点与圆的位置关系:( 表示点到圆心的距离)

  ① 点在圆上;② 点在圆内;③ 点在圆外。

  ⑵直线与圆的位置关系:( 表示圆心到直线的距离)

  ① 相切;② 相交;③ 相离。

  ⑶圆与圆的位置关系:( 表示圆心距, 表示两圆半径,且 )

  ① 相离;② 外切;③ 相交;

  ④ 内切;⑤ 内含。

  10.与圆有关的结论:

  ⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2;

  过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;

  ⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。

  第六部分 圆锥曲线

  1.定义:⑴椭圆: ;

  ⑵双曲线: ;⑶抛物线:略

  2.结论

  ⑴焦半径:①椭圆: (e为离心率); (左“+”右“-”);

  ②抛物线:

  ⑵弦长公式:

  ;

  注:(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: ;②抛物线: =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线: ;②抛物线:2p。

  ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: ( 同时大于0时表示椭圆, 时表示双曲线);

  ⑷椭圆中的结论:

  ①内接矩形最大面积 :2ab;

  ②P,Q为椭圆上任意两点,且OP 0Q,则 ;

  ③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.点 是 内心, 交 于点 ,则 ;

  ④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大;

  ⑸双曲线中的结论:

  ①双曲线 (a>0,b>0)的渐近线: ;

  ②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数, ≠0);

  ③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.P是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ;

  ④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直;

  (6)抛物线中的结论:

  ①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质:<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;

  <Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与 轴相切;<Ⅴ>. 。

  ②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质:

  <Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恒过定点 ;

  <Ⅲ>. 中点轨迹方程: ;<Ⅳ>. ,则 轨迹方程为: ;<Ⅴ>. 。

  ③抛物线y2=2px(p>0),对称轴上一定点 ,则:

  <Ⅰ>.当 时,顶点到点A距离最小,最小值为 ;<Ⅱ>.当 时,抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小,最小值为 。

  3.直线与圆锥曲线问题解法:

  ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。

  注意以下问题:

  ①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程?

  ②直线斜率不存在时考虑了吗?

  ③判别式验证了吗?

  ⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题

  步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解决问题。

  4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。

  第七部分 平面向量

  ⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ① a‖b(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0;

  ② a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .

  ⑵a•b=|a||b|cos=x2+y1y2;

  注:①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;

  6 a•b的几何意义:a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

  ⑶cos= ;

  ⑷三点共线的充要条件:P,A,B三点共线 ;

  附:(理科)P,A,B,C四点共面 。

  第八部分 数列

  1.定义:

  ⑴等差数列 ;

  ⑵等比数列

  ;

  2.等差、等比数列性质

  等差数列 等比数列

  通项公式

  前n项和

  性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m;

  ②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq

  ③ 成AP ③ 成GP

  ④ 成AP, ④ 成GP,

  等差数列特有性质:

  1 项数为2n时:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); ; ;

  2 项数为2n-1时:S2n-1=(2n-1) ; ; ;

  3 若 ;若 ;

  若 。

  3.数列通项的求法:

  ⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP的定义);⑶公式法:累加法( ;

  ⑷叠乘法( 型);⑸构造法( 型);(6)迭代法;

  ⑺间接法(例如: );⑻作商法( 型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。

  注:当遇到 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。

  4.前 项和的求法:

  ⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。

  5.等差数列前n项和最值的求法:

  ⑴ ;⑵利用二次函数的图象与性质。

  第九部分 不等式

  1.均值不等式:

  注意:①一正二定三相等;②变形, 。

  2.绝对值不等式:

  3.不等式的性质:

  ⑴ ;⑵ ;⑶ ;

  ;⑷ ; ;

  ;⑸ ;(6)

  。

  4.不等式等证明(主要)方法:

  ⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。

  第十部分 复数

  1.概念:

  ⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0;

  ⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R);

  ⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z+ =0(z≠0) z2<0;

  ⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R);

  2.复数的代数形式及其运算:设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则:

  (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;

  3.几个重要的结论:

  ;⑶ ;⑷

  ⑸ 性质:T=4; ;

  (6) 以3为周期,且 ; =0;

  (7) 。

  4.运算律:(1)

  5.共轭的性质:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。

  6.模的性质:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;

  第十一部分 概率

  1.事件的关系:

  ⑴事件B包含事件A:事件A发生,事件B一定发生,记作 ;

  ⑵事件A与事件B相等:若 ,则事件A与B相等,记作A=B;

  ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作 (或 );

  ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作 (或 ) ;

  ⑸事件A与事件B互斥:若 为不可能事件( ),则事件A与互斥;

  (6)对立事件: 为不可能事件, 为必然事件,则A与B互为对立事件。

  2.概率公式:

  ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);

  ⑵古典概型: ;

  ⑶几何概型: ;

  第十二部分 与案例

  1.抽样方法

  ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。

  注:①每个个体被抽到的概率为 ;

  ②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。

  ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的

  规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。

  注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 ;

  ④按预先制定的规则抽取样本。

  ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。

  注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

  2.总体特征数的估计:

  ⑴样本平均数 ;

  ⑵样本方差 ;

  ⑶样本标准差 = ;

  3.相关系数(判定两个变量线性相关性):

  注:⑴ >0时,变量 正相关; <0时,变量 负相关;

  ⑵① 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;② 接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

  4.回归分析中回归效果的判定:

  ⑴总偏差平方和: ⑵残差: ;⑶残差平方和: ;⑷回归平方和: - ;⑸相关指数 。

  注:① 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;

  ② 越接近于1,,则回归效果越好。

  5.独立性检验(分类变量关系):

  随机变量 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。

  第十四部分 常用逻辑用语与推理证明

  1. 四种命题:

  ⑴原命题:若p则q; ⑵逆命题:若q则p;

  ⑶否命题:若 p则 q;⑷逆否命题:若 q则 p

  注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。

  2.充要条件的判断:

  (1)定义法----正、反方向推理;

  (2)利用集合间的包含关系:例如:若 ,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;

  3.逻辑连接词:

  ⑴且(and) :命题形式 p q; p q p q p q p

  ⑵或(or):命题形式 p q; 真 真 真 真 假

  ⑶非(not):命题形式 p . 真 假 假 真 假

  假 真 假 真 真

  假 假 假 假 真

  4.全称量词与存在量词

  ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 表示;

  全称命题p: ;

  全称命题p的否定 p: 。

  ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 表示;

  特称命题p: ;

  特称命题p的否定 p: ;

  第十五部分 推理与证明

  1.推理:

  ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。

  ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。

  注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。

  ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。

  注:类比推理是特殊到特殊的推理。

  ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。

  注:演绎推理是由一般到特殊的推理。

  “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:

  ⑴大前提---------已知的一般结论;

  ⑵小前提---------所研究的特殊情况;

  ⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

  二.证明

  ⒈直接证明

  ⑴综合法

  一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

  ⑵分析法

  一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

  2.间接证明------反证法

  一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。

  附:数学归纳法(仅限理科)

  一般的证明一个与正整数 有关的一个命题,可按以下步骤进行:

  ⑴证明当 取第一个值 是命题成立;

  ⑵假设当 命题成立,证明当 时命题也成立。

  那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立。

  这种证明方法叫数学归纳法。

  注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;

  3 的取值视题目而4 定,5 可能是1,6 也可能是2等。

  第十六部分 理科选修部分

  1. 排列、组合和二项式定理

  ⑴排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;

  ⑵组合数公式: (m≤n), ;

  ⑶组合数性质: ;

  ⑷二项式定理:

  ①通项: ②注意二项式系数与系数的区别;

  ⑸二项式系数的性质:

  ①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n为偶数,中间一项(第 +1项)二项式系数最大;若n为奇数,中间两项(第 和 +1项)二项式系数最大;

  ③

  (6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。

  2. 概率与

  ⑴随机变量的分布列:

  ①随机变量分布列的性质:pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1;

  ②离散型随机变量:

  X x1 X2 … xn …

  P P1 P2 … Pn …

  期望:EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;

  方差:DX= ;

  注: ;

  ③两点分布:

  X 0 1 期望:EX=p;方差:DX=p(1-p).

  P 1-p p

  4 超几何分布:

  一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则 其中, 。

  称分布列

  X 0 1 … m

  P …

  为超几何分布列, 称X服从超几何分布。

  ⑤二项分布(独立重复试验):

  若X~B(n,p),则EX=np, DX=np(1- p);注: 。

  ⑵条件概率:称 为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。

  注:①0 P(B|A) 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

  ⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B)。

  ⑷正态总体的概率密度函数: 式中 是参数,分别表示总体的平均数(期望值)与标准差;

  (6)正态曲线的性质:

  ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线x= 对称;

  ③曲线在x= 处达到峰值 ;④曲线与x轴之间的面积为1;

  5 当 一定时,6 曲线随 质的变化沿x轴平移;

  7 当 一定时,8 曲线形状由 确定: 越大,9 曲线越“矮胖”,10 表示总体分布越集中;

  越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散。

  注:P =0.6826;P =0.9544

  P =0.9974

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